前言

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你好,我是彤哥,一个天天爬二十六层楼还不忘读源码的硬核男子。

人人都知道,数据结构与算法解决的主要问题就是“快”和“省”的问题,即若何让代码运行得更快, 若何让代码更节约存储空间。

以是,“快”和“省”是权衡一个算法异常重要的两项指标,也就是我们经常听到的时间复杂度和空间复杂度剖析。

那么,为什么需要复杂度剖析呢?复杂度剖析的方式论是什么呢?

这就是我们本节要解决的问题。

好了,进入今天的学习吧。

为什么需要复杂度剖析?

首先,我们来思索一个问题:对于两个算法,我们若何评判谁运行得更快,谁运行时更节约内存?

你可能会说,这还不简朴,把这两个算法运行一遍,统计下运行时间和占用内存不就可以了吗?

没错,这确实是一种不错的方式,而且它还有个异常形象的名字:事后统计法

然则,这种统计方式具有异常显著的问题:

  1. 差别的输入对效果影响很大

    对于一些输入,可能算法A执行得更快;对于另外一些输入,可能算法B执行得更快。好比,我们后面要学习的排序算法,输入的有序性对于差别的排序算法的影响是完全差别的。

  2. 差别的机械对效果影响很大

    对于同样的输入,可能在一台机械上算法A更快,而在另外一台机械上算法B更快。好比,算法A可以行使多核而算法B不能,那么CPU的核数对这两个算法的影响将截然差别。

  3. 数据规模对效果影响很大

    当数据规模小时,可能算法A更快,而数据规模变大时,可能算法B更快。好比,我们后面要学习的排序算法,当数据规模对照小时,插入排序反而比合并排序更快。

以是,我们需要一种可以不用现实运行算法,就可以估量算法执行效率的方式。

这也就是我们所说的复杂度剖析。

那么,怎么举行复杂度剖析呢?有没有什么方式论呢?

还真有,这个方式论叫作渐近剖析法

什么是渐近剖析法?

渐近剖析法,是指将算法执行的效率与输入的规模举行挂钩,随着输入规模的增大,算法执行所需要的时间(或空间)将出现一种什么样的趋势,这种趋势就叫作渐近,而这种方式就叫作渐近剖析法

观点可能对照拗口,我举个简朴的例子,对于给定的一个有序数组,我要查找其中某个值所在的位置,好比,查找8这个元素,有哪些方式呢?

简朴暴力点的方式,重新遍历,查找到该元素即返回。

更友好一点的方式,接纳二分法,每次定位到数据的中心位置,看其值与目的值的巨细,判断是在左边照样右边继续以二分的方式查找。

上面我们举的例子的输入规模是8个元素的有序数组,目的值为8,使用第二种方式显著比第一种方式要快许多。

然则,若是查找的目的是1呢?

对于第一种方式,查找一次足矣。

对于第二种方式,需要查找3次。

此时,第二种方式又次于第一种方式了。

以是,对照两个算法的执行效率,不能只考虑到个体元素,而应该顾及到所有元素的感受。

我们以数学的方式来统计两种方式的平均执行效率,假设输入规模扩展到n。

对于第一种方式,1号元素查找一次,2号元素查找两次,3号元素查找三次……,而查找每个元素的概率都是1/n。

以是,它的执行效率为:1x1/n + 2x1/n + 3x1/n + ... nx1/n = nx(n+1)/2/n = (n+1)/2。

对于第二种方式,中心的元素有一个,查找一次,次中心的元素有两个,查找两次,次次中心的元素有四个,查找三次...,每次查找的规模都缩小一半,而查找每个元素的概率都是1/n。

以是,它的执行效率为:1x1x1/n + 2x2x1/n + 4x3x1/n + ... + 2^(log2(n)-2) x (log2(n)-1) x 1/n+ 2^(log2(n)-1) x log2(n) x 1/n = ?

我了个去,这个效果即是若干?

是时刻展现真正的实力了:

你可能要骂娘了,对于我一个小学结业的,岂非我没办法学习数据结构与算法了?

No,No,No,一定不能这么玩,那么,应该怎么玩呢?我们下一节接着讲。

后记

本节,我们从算法执行效率方面论述了为什么需要复杂度剖析,并先容了复杂度剖析的方式,即渐近剖析法,若是严格地遵照渐近剖析法,需要大量的数学知识,这无疑增加了我们剖析算法的难度,那么,有没有什么更省心地盘算复杂度的方式呢?

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