本文始发于小我私家民众号:TechFlow,原创不易,求个关注


今天是高等数学专题的第13篇文章,我们来看看定积分事实应该怎么盘算。


定积分的实际意义


通过之前的文章,我们基本上熟悉了定积分这个观点和它的一些简朴性子,今天终于到了正题,我们要试着来算一算这个积分了。

我们先来回忆一下对定积分的直观感受,它可以代表一段曲形面积,好比:

若是我们把上图当中的f(x)看成是速率函数x轴看成是时间,那么f(x)就示意时刻x时物体运动的速率。那么我们把所有瞬时移动的距离累加,就获得了物体在某个时间段内的位移矢量,而这个位移长度正好就是我们曲形的面积。我们把定积分和物理上的位移举行挂钩之后,很容易得出一个结论,在物理学上,一个物体发生的位移和时间也是逐一映射的关系,以是这也是一个函数。

有了这个结论之后,我们就可以做一个假设,假设一个函数s(t)知足:

\[s(t) = \int_a^t f(t)dt \]

其中的a是一个定值,我们可以认为是位移发生的起始时刻,s(t)就是物体位移和时间的函数。以是a到b这段时间内发生的位移就即是\(s(b) - s(a) = \int_a^b f(t)dt\).


盘算推导


当我们把定积分和物理位移挂钩的时刻,我们距离求解它已经很接近了。

凭据物理上的界说,物体的运动速率实在就即是位置矢量随时间的转变率,虽然不够严谨,但实在这是一个微分量,可以近似看成是位移函数的导数。固然这个只是直观的熟悉,我们还需要用严谨的数学语言来表达。

我们假设f(x)函数在区间[a, b]上延续,而且\(\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt, (a \leq x \leq b)\),我们试着证实\(\Phi'(x) = f(x)\)

我们取一个绝对值足够小的\(\Delta x\),使得\(x + \Delta x \in (a, b)\),那么:

\[\Phi(x + \Delta x) = \int_a^{x+\Delta x}f(t)dt \]

我们用它减去\(\Phi(x)\),获得:

\[\begin{aligned} \Delta \Phi &= \Phi(x+\Delta x) - \Phi(x) \\ &= \int_a^{x+\Delta x} f(t)dt - \int_a^x f(t)dt\\ &= \int_x^{x+\Delta x}f(t)dt \end{aligned} \]

凭据我们积分中值定理,可以获得,存在\(\xi \in (x, x+\Delta x)\),使得:

\[\begin{aligned} \Delta \Phi &= f(\xi) \Delta x\\ \frac{\Delta \Phi}{\Delta x} &= f(\xi) \end{aligned} \]

由于f(x)在[a, b]上延续,而且\(\Delta x\to 0\),以是\(\xi \to x\),因此\(\lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x)\),进一步就证实了\(\Phi(x)\)的导数存在,而且:

\[\Phi'(x) = f(x) \]

到这里已经距离我们的目的异常接近了,只差最后一步。这最主要的一步有两个数学大牛对它声明主权,一个是牛顿,另一个是莱布尼茨。这也是数学界一桩异常着名的公案,这背后的故事靠山异常庞大,属于典型的公说公有理婆说婆有理的桥段。有一部著名的纪录片叫做《一部微积分的恩怨史》讲的就是这一段故事,感兴趣的同砚可以去B站围观一下。

为了制止引战,许多课本上都把它叫做牛顿-莱布尼茨公式,用两小我私家的名字配合命名。


牛顿-莱布尼茨公式


凭据原函数的界说,从上面的结论当中我们可以获得\(\Phi(x)\)是函数\(f(x)\)在[a, b]上的一个原函数。我们假设F(x)也是f(x)的一个原函数,以是我们可以知道\(F(x) - \Phi(x) = C\),这里的C是一个常数。

令x = a,那么可以获得\(F(a) - \Phi(a) = C\),凭据\(\Phi(x)\)的界说,我们可以知道\(\Phi(a) = 0\),以是\(F(a) = C\),而且\(\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt\),代入可以获得:

\[\begin{aligned} F(x) - \Phi(x) &= C\\ F(x) - \int_a^x f(t)dt &= F(a)\\ \int_a^x f(t)dt &= F(x) - F(a) \end{aligned} \]

我们把b代入,可以获得\(\int_a^x f(x)dx = F(b) - F(a)\),这个式子就是牛顿莱布尼茨公式。

我们回首一下上面的推导历程,难度并不大,然则几个代换处置异常巧妙,否则的话纵然我们可以获得结论,也并不严谨。


总结


有了定积分的盘算公式之后,许多我们之前无法解决的问题就都可以解决了,由此奠基了整个微积分的基础,不仅推动了数学的生长,也带动了理工科险些所有的学科。在各大理工学科之中险些都有用到微积分举行一些庞大的盘算,纵然是看起来和数学不那么相关的盘算机领域也不破例,这也是大学里为什么给所有理工科的学生开设了这门课的缘故原由。

但遗憾的是,在我们学习的时刻往往很难预见它的主要性,然而当我们预见这一点的时刻,往往已经是许多年之后,没有那样的环境和时间给我们去好好学习了。

今天的文章就是这些,若是以为有所收获,请随手点个关注或者转发吧,你们的举手之劳对我来说很主要。

,

Sunbet

Sunbet www.xzsxzxx.cn是Sunbet娱乐的官方网站,是亚洲唯一的Sunbet。公司业务主要范围:Sunbet、Sunbet、sunbet娱乐等。

Allbet Gaming声明:该文看法仅代表作者自己,与阳光在线无关。转载请注明:热点问题:高等数学——手撕牛顿莱布尼茨公式
发布评论

分享到:

联博开奖:40岁周励淇剖腹诞B仔!老公接受隔离 内地来港陪同
1 条回复
  1. 欧搏手机版
    欧搏手机版
    (2020-06-06 00:10:00) 1#

    联博统计www.326681.com采用以太坊区块链高度哈希值作为统计数据,联博以太坊统计数据开源、公平、无任何作弊可能性。联博统计免费提供API接口,支持多语言接入。这个不虐吧

发表评论

◎欢迎参与讨论,请在这里发表您的看法、交流您的观点。